Question

（本小题满分12分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，

AB=，AF=1，M是线段EF的中点。

(Ⅰ)求证：AM∥平面BDE；

(Ⅱ) 求二面角A－DF－B的大小.

（Ⅲ）试问：在线段AC上是否存在一点P，使得直线PF与AD所成角为60°？

Answer

解: (Ⅰ)记AC与BD的交点为O,连接OE,             1分

∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，

∴四边形AOEM是平行四边形，                     2分

∴AM∥OE.                                      

∵平面BDE， 平面BDE，            4分

∴AM∥平面BDE.                           

 (Ⅱ)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连结BS，

∵AB⊥AF， AB⊥AD，

∴AB⊥平面ADF，                              6分

∴AS是BS在平面ADF上的射影，

由三垂线定理得BS⊥DF.

∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角。           

在RtΔASB中，

∴                   

∴二面角A—DF—B的大小为60º.                8分

（Ⅲ）设CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，则PQ∥AD，

∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，，

∴PQ⊥平面ABF，QF平面ABF，            

∴PQ⊥QF.                                    9分 

在RtΔPQF中，∠FPQ=60º，PF=2PQ.

∵ΔPAQ为等腰直角三角形，

∴                          10分

又∵ΔPAF为直角三角形，

∴，

∴                 

所以t=1或t=3(舍去)

即点P是AC的中点.                           12分

方法二（ 仿上给分）

（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系。

设，连接NE，

则点N、E的坐标分别是（、（0,0,1）,

又点A、M的坐标分别是

（）、（

∴NE∥AM.

又∵平面BDE， 平面BDE，

∴AM∥平面BDF.

（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF

∴AB⊥平面ADF.

即所求二面角A—DF—B的大小是60º.

（Ⅲ）设P(t,t,0)(0≤t≤)得

又∵PF和AD所成的角是60º.

∴

解得或（舍去），

即点P是AC的中点.

【解析】略