Question

已知正△的边长为4，是边上的高，分别是和边的中点，现将△沿翻折成直二面角，如图．

    （I）证明：∥平面；

    （II）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使？证明你的结论．

Answer

【解析】
法一：（I）证明：如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，

得EF//AB，又AB平面DEF，EF平面DEF．   

∴AB∥平面DEF．  ………………………………………………3分

 （II）∵AD⊥CD，BD⊥CD  

 ∴∠ADB是二面角A—CD—B的平面角

∴AD⊥BD   ∴AD⊥平面BCD

取CD的中点M，这时EM∥AD   ∴EM⊥平面BCD

过M作MN⊥DF于点N，连结EN，则EN⊥DF

∴∠MNE是二面角E—DF—C的平面角，   …………………………………6分

在Rt△EMN中，EM=1，MN=

∴tan∠MNE=，cos∠MNE=．  ……………………………………8分

（Ⅲ）在线段BC上存在点P，使AP⊥DE    ……………………………9分

证明：在线段BC上取点P，使，过P作PQ⊥CD与点Q，

∴PQ⊥平面ACD    ∵在等边△ADE中，∠DAQ=30°

∴AQ⊥DE∴AP⊥DE．          …………………………………………12分

法二：（Ⅱ）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，

则A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，，

平面CDF的法向量为设平面EDF的法向量为

则 即

所以二面角E—DF—C的余弦值为．     …………………………8分

（Ⅲ）在平面坐标系xDy中，直线BC的方程为

    设

所以在线段BC上存在点P，使AP⊥DE．      …………………12分   

【解析】略