Question

（本小题满分14分）

已知实系数一元二次方程x²+px+q=0的两根分别为x₁，x₂。

（1）若上述方程的一个根x₁=4-i（i为虚数单位），求实数p，q的值；

（2）若方程的两根满足|x₁|+|x₂|=2，求实数p的取值范围。

Answer

【解析】
（1）根据“实系数方程虚根共轭成对出现”，知x2=4+i，                    ……2分

根据韦达定理，知p=-(x1+x2)=-8；q=x1·x2=17。                                       ……2分

（2）①当△=p2-4q<0时，方程的两根为虚数，且，

∴|x1|=|x2|=1，∴q=1。∴p=-(x1+x2)=-2Re(x1)∈[-2，2]，

又根据△=p2-4q<0，∴p∈(-2，2)。                                                         ……3分

②（法一）当△=p2-4q≥0时，方程的两根为实数，

（2-1）当q>0时，方程的两根同号，∴|x1|+|x2|=|x1+x2|=|p|=2，∴p=±2；

（2-2）当q=0时，方程的一根为0，∴|x1|+|x2|=|x1+x2|=|p|=2，∴p=±2；

（2-2）当q<0时，方程的两根异号，∴|x1|+|x2|=|x1-x2|=2，

∴4=(x1+x2)2-4x1x2=p2-4q，∴p2=4+4q∈[0，4)，∴p∈(-2，2)

∴当△≥0时，p∈[-2，2]。                                                       ……3分

综上，p的取值范围是[-2，2]。

（法二）当△=p2-4q≥0时，方程的两根为实数，

∴|p|=|x1+x2|≤|x1|+|x2|=2，当x1与x2同号或有一个为0时等号取到。特别的，取x1=2，x2=0时p=-2；取x1=-2，x2=0时p=2。

∴p∈[-2，2]。                                                                                         ……3分

综上，p的取值范围是[-2，2]

【解析】略