Question

（本题满分12分）

如图，四棱锥的底面是一个边长为4的正方形，侧面是正三角形，侧面底面，

（Ⅰ）求四棱锥的体积；

（Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值。

Answer

18.(12分) 解:（Ⅰ）设的中点为,连接

    所以是棱锥的高, 易知

      所以

  （Ⅱ）解法一(几何法)

       取的中点,连接

  过作于点，

    因为平面，平面，所以．又于点，   

      所以平面

      在中，，

      所以

      因为,所以,点到面的距离相等

      设直线与平面所成的角为，则．

  所以直线与平面所成的角的正弦值为

    解法二(向量法)

      如图, 取的中点,连接

  以,,分别为轴建立空间直角坐标系

      则,,,,

  所以, ,

   设平面的法向量为,则

     即

 设直线与平面所成的角为 ,则

【解析】略