Question

(本小题满分12分)

已知一四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且．

（1）求证：平面

（2）若点为的中点，求二面角的大小．

Answer

【解析】
（1）证明：连接，∵是正方形，∴．

∵底面且平面，∴．

又∵，∴平面．          …………6分

（2）解法一：在平面内过点作

于，连接，．

因为，，

所以平面，所以，

所以为二面角的平面角

又，，所以．

在Rt中，

同理，在Rt中，

在中，由余弦定理得．

所以，即二面角的大小为．………………………12分

解法二：以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示：

则，，，，从而，，，．

设平面和平面的一个法向量分别为，，

由法向量的性质可得：，， ，，

令，，则，，∴，．

设二面角的平面角为，则．

∴，即二面角的大小为

【解析】略