Question

（13分）已知函数f(x)=ln(x+)-x²-x在x = 0处取得极值．

(1)求实数的值；

(2)若关于x的方程，f(x)= 在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围；

Answer

【解析】
(1)  =  

∵x=0时，f(x)取得极值，∴=0，

故 =0，解得a=1.经检验a=1符合题意.

 (2)由a=1知f(x)=ln(x+1)-x2 - x，由f(x)= ,

得ln(x+1)-x2+ x-b=0，

令φ(x)= ln(x+1)-x2+ x-b，

则f(x)= +b在[0，2]上恰有两个不同的实数根等价于φ(x)=0在[0，2]

恰有两个不同实数根

       ，

当x∈(0，1)时， >O，于是φ(x)在(0，1)上单调递增；

当x∈(1，2)时， <0，于是φ(x)在(1，2)上单调递减．

       依题意有

        ∴ln3 -1≤b