Question

．（12分）

如图，△ABC内接于⊙O，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于点D，

且AB2＝AP·AD

(1)求证：AB＝AC；

(2)如果∠ABC＝60°，⊙O的半径为1，且P为弧AC的中点，求AD的长．

Answer

(1)证明：联结BP．

∵AB2＝AP·AD，∴．

∵∠BAD＝∠PAB，∴△ABD∽△APB，

∴∠ABC＝∠APB，∵∠ACB＝∠APB，

∴∠ABC＝∠ACB．∴AB＝AC．

(2)由(1)知AB＝AC．∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形．

∴∠BAC＝60°，∵P为弧AC的中点，

∴∠ABP＝∠PAC＝∠ABC＝30°，∴∠BAP＝90°，∴  BP是⊙O的直径，∴  BP＝2，∴AP＝BP＝1，

在Rt△PAB中，由勾股定理得  AB＝BP2－AP2＝3，∴AD＝＝3．

【解析】略