Question

（文科做）（本题满分14分）如图，在长方体

ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动.

（1）证明：D₁E⊥A₁D;

（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD₁的距离；

（3）AE等于何值时，二面角D₁—EC－D的大小为.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（理科做）(本题满分14分)

     如图，在直三棱柱ABC – A₁B₁C₁中，∠ACB = 90°，CB = 1，

CA =，AA₁ =，M为侧棱CC₁上一点，AM⊥BA₁．

   （Ⅰ）求证：AM⊥平面A₁BC；

   （Ⅱ）求二面角B – AM – C的大小；

   （Ⅲ）求点C到平面ABM的距离．

Answer

、（文）解法一（1）∵AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴D1E⊥A1D．

（2）设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC=CD1=，AD1=，故

（3）过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，∴∠DHD1为二面角D1—EC—D的平面角.设AE=x，则BE=2－x，

 （3）设平面D1EC的法向量，

由  令b=1, ∴c=2,a=2－x，∴依题意∴（不合，舍去），

∴AE=时，二面角D1—EC—D的大小为. 

  （Ⅲ）设点C到平面ABM的距离为h，易知BO =，可知S△ABM =· AM · BO =×   ∵VC – ABM = VM – ABC  ∴hS△ABM =MC ·S△ABC  

∴h =  ∴点C到平面ABM的距离为解法二：（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）如图以C为原点，CA，CB，CC1所在直线  

分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

则A (，0，0)，A1(，0，)，B (0，1，0)，

设M (0，0，z1)      ∵AM⊥BA1．

∴，即– 3 + 0 +z1 = 0，故z1 =，所以M (0，0，)    

设向量m = (x，y，z)为平面AMB的法向量，则m⊥，m⊥，则

即，令x = 1，平面AMB的一个法向量为m = (1，，)，显然向量是平面AMC的一个法向量

cos < m，，易知，m与所夹的角等于二面角B—AM—C的大小，故所求二面角的大小为45°． （Ⅲ）所求距离为：，   即点C到平面ABM的距离为

【解析】略