Question

（本小题满分12分）

如图，与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面BCD，．求点A到平面MBC的距离。

Answer

解法一:  （Ⅰ）如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.

∵AP=AB=2,BC=AD=,四边形ABCD是矩形.

∴A，B，C，D，P的坐标为A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2, ,0)，D(0，，0)，P(0,0,2)，

又E，F分别是AD，PC的中点，

∴E(0，，0)，F(1，，1).

∴=（2，，-2）=（-1，，1）=（1,0, 1），

∴·=-2+4-2=0，·=2+0-2=0，

∴⊥，⊥，

∴PC⊥BF，PC⊥EF，BF ∩  EF=F,

∴PC⊥平面BEF，

（II）由（I）知平面BEF的法向量,

平面BAP 的法向量,

  ∴.     设平面BEF与平面BAP的夹角为 θ ，

则,

∴ θ=45°， ∴ 平面BEF与平面BAP的夹角为45°.

解法二  （I）连接PE，EC在和中.

PA=AB=CD, AE=DE,

∴ PE= CE, 即 △PEC 是等腰三角形，

又F是PC 的中点，∴EF⊥PC,

又，F是PC 的中点，

∴  BF⊥PC.

又,∴.

（II）∵∴,

又ABCD是矩形，∴ABBC

∴BC平面BAP,BCPB,

又由（Ⅰ）知PC平面BEF,

∴ 直线PC与BC的夹角即为平面BEF与平面BAP的夹角，

在中，∴

所以平面BEF与平面BAP的夹角为45°.

【解析】略