Question

（本小题满分14分）

如图，在五棱锥P—ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC， ABC=45°，AB=2，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形．

（I）求证：平面PCD⊥平面PAC；

（II）求四棱锥P—ACDE的体积．

Answer

【解析】
（I）证明：

在△ABC中，因为∠ABC=45°，BC=4，AB=，

所以AC2=AB+BC2-2AB·BC·cos45°=8[来

因此  AC=，

故BC2=AC2+AB2,

所以∠BAC=90°

又PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，

所以CD⊥PA,CD⊥AC,

又 PA,AC 平面PAC,且PAAC=A，

所以 CD⊥PAC,又 CD平面PCD，

所以  平面PCD⊥平面PAC

（II）因为AC∥ED,CD⊥AC，

所以  四边形ACDE是直角梯形，

因为  AE=2,∠ABC=45°，AE∥BC，

所以  ∠BAE=135°，

因此  ∠CAE=45°,

故  CD=AE·sin45°==2×=，

所以 

又   PA⊥平面ABCDE，

所以

【解析】略