Question

(本小题满分14分)

在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，且椭圆的离心率为

（1）求椭圆的方程

（2）是否存在以为直角顶点且内接于椭圆的等腰直角三角形？若存在，求出共有几个；若不存在，请说明理由

Answer

【解析】
（1）由得，                              …1分

又．                                   …2分

故椭圆方程为，

椭圆经过点，则

．                                        …3分

所以                                           … 4分

所以椭圆的标准方程为．                           …5分

（2）假设存在这样的等腰直角三角形.

明显直线的斜率存在，因为点的坐标为，设直线的方程，则直线的方程为．          …6分

由 得

所以，或[

所以点的纵坐标为                         …7分

所以．…8分

同理                     …9分[

因为是等腰直角三角形，所以，即

                               …10分

即

所以，即                     …11分

所以

即

所以，或                                   …12分

所以，或．                                    …13分

所以这样的直角三角形有三个．                               …14分

【解析】略