Question

（本小题满分14分）

在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，且椭圆的离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在以为直角顶点且内接于椭圆的等腰直角三角形？若存在，求出共有几个；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由得，................................................. （1分）

又．........................................................ （2分）

故椭圆方程为，

椭圆经过点，则

．............................................................ （3分）

所以...............................................................  （4分）

所以椭圆的标准方程为．................................................ （5分）

（2）假设存在这样的等腰直角三角形.

明显直线的斜率存在，因为点的坐标为，设直线的方程为，则直线的方程为．.............................................................. （6分）

将的方程代入椭圆得

所以，或[

所以点的纵坐标为............................................... （7分）

所以．............... （8分）

同理....................................... （9分）

因为是等腰直角三角形，所以，即

................................................ （10分）

即

所以，即..................................... （11分）

所以

即

所以，或..................................................... （12分）

所以，或．...................................................... （13分）

所以这样的直角三角形有三个．................................................... （14分）

【解析】略