Question

已知函数满足,对于任意R都有,且,令.

（1）求函数的表达式；

（2）求函数的单调区间；

（3）研究函数在区间上的零点个数.

Answer

(1) 【解析】
∵，∴.      … 1分        

∵对于任意R都有,

∴函数的对称轴为，即，得.    …… 2分

 又，即对于任意R都成立，∴,且．

∵，      ∴． ∴．     …… 4分

 (2) 【解析】
     …… 5分

① 当时，函数的对称轴为，

若，即，函数在上单调递增；…… 6分

若，即，函数在上单调递增，在上单调递减．…… 7分

② 当时，函数的对称轴为，

则函数在上单调递增，在上单调递减．… 8分

综上所述，当时，函数单调递增区间为，

单调递减区间为；       …… 9分

当时，函数单调递增区间为和，

单调递减区间为和．… 10分

 (3)【解析】
① 当时，由(2)知函数在区间上单调递增，

又，

故函数在区间上只有一个零点．  …… 11分

② 当时，则，而，

，

   （ⅰ）若，由于，

          且，

         此时，函数在区间上只有一个零点； 12分

（ⅱ）若，由于且，此时，函数在区间  

  上有两个不同的零点．          …… 13分

综上所述，当时，函数在区间上只有一个零点；

当时，函数在区间上有两个不同的零点．  …… 14分

【解析】略