Question

（本小题满分14分）

如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，，AA1＝4，点D是AB的中点．

（1）求证：AC⊥BC1；

（2）求的体积；

（3）求二面角的平面角的余弦值．

Answer

（1）证明：直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，

BC=4，AB=5，

∴ AC⊥BC，                                     …………2分

又 AC⊥C1 C，

∴ AC⊥平面BCC1；         

  ∴ AC⊥BC1        …………4分

（2）…………8分

（3）解法一：取中点，过作于，连接。

是中点，

∴

∴平面，又

∴

∴  ,又

∴平面   

∴

∴是二面角的平面角…………10分

AC＝3，BC＝4，AA1＝4，

∴，    ∴ ，  

     ∴二面角的余弦值为 …………14分

解法二：以分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，

AC＝3，BC＝4，AA1＝4，

∴，，，

∴， 

平面的法向量，  

 设平面的法向量，

则，的夹角的补角的大小就是二面角的大小

则由解得 …12分

，………13分

∴二面角的余弦值为          …………14分

【解析】略