Question

如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，

P为BC边的中点，SB与平面ABCD所成的角为，且

，。

（1）求证：平面。

（2）求二面角的余弦值。（12分）

Answer

（法一）（1）因为底面ABCD，

所以是SB与平面ABCD所成的角。………….1分

由已知，所以，

易求得。………….2分

又因为所以，

所以………….3分

因为底面ABCD，平面ABCD，

所以，………….4分

由于，所以平面SAP。………….5分

（2）设Q为AD的中点，连接PQ，………….6分

由于底面ABCD，且平面SAD，

则平面SAD平面PAD。………….7分

因为所以平面SAD，

过Q作，垂足为R，连接PR，

由三垂线定理可知，

所以是二面角的平面角。………….9分

容易证明∽，则。

因为，

所以………….10分

在中，因为，

所以，………….11分

所以二面角的余弦值为。………….12分

（法二）因为底面ABCD，

所以是SB与平面ABCD所成的角。………….1分

所以，所以。

建立空间直角坐标系（如图），

由已知P为BC的中点，于是A（0，0，0），B（1，0，0），P（1，1，0），D（0，2，0），

S（0，0，1）。

（1）   易求得，（-1，1，0），（-1，-1，1）。

因为，

所以。

由于，所以平面SAP。………….5分

（2）   设平面SPD的法向量为，

由得，解得，

所以。………….8分

又因为平面SAD，

所以是平面SAD的法向量，

易得，二面角为锐二面角。………….9分

所以，………….11分

所以的余弦值为。………….12分

【解析】略