Question

（本小题满分14分）

已知f(x)＝x²＋bx＋c为偶函数，曲线y＝f(x)过点(2,5)，g(x)＝(x＋a)f(x)．

(1)求f(x)的解析式；

(2)若曲线y＝g(x)有斜率为0的切线，求实数a的取值范围；

(3)若当x＝1时，函数y＝g(x)取得极值，确定y＝g(x)的单调区间．

Answer

【解析】
(1)∵f(x)为偶函数，∴b＝0.          …………………2分

又f(x)过(2,5)，∴4＋c＝5，得c＝1.

∴f(x)= x2＋1                                …………………4分

(2)又g(x)＝(x＋a)f(x)＝(x＋a)(x2＋1)＝x3＋ax2＋x＋a

由题意得g′(x)＝3x2＋2ax＋1＝0有解，

∴Δ＝4a2－12>0，得a>或a<－.             …………………9分

(3)由(1)知g′(x)＝3x2＋2ax＋1，由题意得g′(1)＝0，得a＝－2，经检验当a＝－2时，y＝g(x)取得极值符合题意，由g′(x)＝3x2－4x＋1>0，得x>1或x<，由g′(x)<0，得