Question

（本小题满分12分）已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和

圆C：(x－3)²＋(y＋6)²＝25.

(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆C总相交；

(2)求直线l被圆C截得的线段的最短长度以及此时直线l的方程．

Answer

(1)证明：设圆心C到直线l的距离为d，则有

d＝

整理可得4(d2－1)m2＋12m＋d2－9＝0①

为使上面关于m的方程有实数解，

∴Δ＝122－16(d2－1)(d2－9)≥0，解得0≤d≤.

可得d<5，故不论m为何实数值，直线l与圆C总相交．    6分

(2)【解析】
由(1)可知0≤d≤，即d的最大值为.

根据平面几何知识可知：当圆心到直线l的距离最大时，直线l被圆C截得的线段长度最短．

∴当d＝时，

线段(即弦长)的最短长度为

2＝2.         9分

将d＝代入①可得m＝－，代入直线l的方程得直线被圆C截得最短线段时l的方程为x＋3y＋5＝0.      12分

【解析】略