．（本小题满分12分）如图，在矩形中，，又⊥平面，．（Ⅰ）若在边上存在一点，使...

．（本小题满分12分）如图，在矩形中，，又⊥平面，．

（Ⅰ）若在边上存在一点，使，

求的取值范围；

（Ⅱ）当边上存在唯一点，使时，

求二面角的余弦值．

解法1：（Ⅰ）如图，连，由于PA⊥平面ABCD，则由PQ⊥QD，必有． ……2分设，则，在中，有．在中，有． ……4分在中，有．即，即． ∴．故的取值范围为． ……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当，时，边BC上存在唯一点Q（Q为BC边的中点），使PQ⊥QD．过Q作QM∥CD交AD于M，则QM⊥AD． ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QM．∴QM⊥平面PAD．过M作MN⊥PD于N，连结NQ，则QN⊥PD． ∴∠MNQ是二面角A－PD－Q的平面角． ……8分在等腰直角三角形中，可求得，又，进而． ……10分 ∴．故二面角A－PD－Q的余弦值为． ……12分【解析】略

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考点分析：

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（本小题满分12分）某工厂家具车间造A，B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成．已知木工做一张A，B型桌子分别需要1 h和2 h，漆工油漆一张A，B型桌子分别需要3 h和1 h；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8 h和9 h，而工厂造一张A，B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问：工厂每天应生产A，B型桌子各多少张，才能获得最大利润？