Question

（本小题满分12分）如图，在矩形中，，又⊥平面，．

（Ⅰ）若在边上存在一点，使，

求的取值范围；

（Ⅱ）当边上存在唯一点，使时，

求二面角的余弦值．

Answer

解法1：（Ⅰ）如图，连，由于PA⊥平面ABCD，则由PQ⊥QD，必有．

                                     ……2分

设，则，

在中，有．

在中，有．    ……4分

在中，有．

即，即．

∴．

故的取值范围为．                                       ……6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当，时，边BC上存在唯一点Q（Q为BC边的中点），使PQ⊥QD．                                                  

过Q作QM∥CD交AD于M，则QM⊥AD．

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QM．∴QM⊥平面PAD．

过M作MN⊥PD于N，连结NQ，则QN⊥PD．

∴∠MNQ是二面角A－PD－Q的平面角．                           ……8分

在等腰直角三角形中，可求得，又，进而．

                                             ……10分

∴．

故二面角A－PD－Q的余弦值为．                ……12分

【解析】略