Question

(（本小题满分12分）

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，短轴长为2．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线过且与椭圆相交于A，B两点，当P是AB的中点时，

求直线的方程．

Answer

【解析】
设椭圆方程为．    ……………1分

（Ⅰ）由已知可得．       ……………4分

∴所求椭圆方程为．                   ……………5分

（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，， ………6分

则，，两式相减得：．  ………8分

∵P是AB的中点，∴，，代入上式可得直线AB的斜率为……10分

∴直线的方程为．

当直线的斜率不存在时，将代入椭圆方程并解得，，

这时AB的中点为，∴不符合题设要求．综上，直线的方程为．…12分

（特别说明：没说明斜率不存在这种情况扣2分）

【解析】略