Question

（本小题满分14分）

已知函数f(x)=－x³＋3x²＋9x＋a.    

（I）求f(x)的单调递减区间；

（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

Answer

【解析】
（I） f ’(x)＝－3x2＋6x＋9．

令f ‘(x)<0，解得x<－1或x>3，

     所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．

    （II）因为f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，

     所以f(2)>f(－2)．因为在（－1，3）上f ‘(x)>0，

所以f(x)在[－1, 2]上单调递增，

又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，

因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，

于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2．   

故f(x)=－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，

即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．

【解析】略