Question

(13分)

已知函数。

   （I）当时，求曲线在点处的切线方程；

   （Ⅱ）当函数在区间上的最小值为时，求实数的值；

   （Ⅲ）若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围。

Answer

解．（I）因为，由题意    （2分）

       即过点的切线斜率为3，又点

     则过点的切线方程为：  （4分）

   （Ⅱ）由题意令得或  （5分）

       由，要使函数在区间上的最小值为，则

   （i）当时，

当时，，当时，，

所以函数在区间[0，1]上，

即：，舍去    （7分）

   （ii）当时，

当时，，则使函数在区间上单调递减，

 综上所述：                  (8分)

（Ⅲ）设

令得或     （9分）

（i）当时，函数单调递增，函数与的图象不可能有三个不同的交点

（ii）当时，随的变化情况如下表：

1

+

0

一

0

+

极大

极小

欲使与图象有三个不同的交点，

方程，也即有三个不同的实根

，所以   （11分）

（iii）当时，随的变化情况如下表：

1

+

0

一

0

+

极大

极小

由于极大值恒成立，故此时不能有三个解

综上所述         （13分）

【解析】略