Question

(本小题满分12分)

如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD， 且底面ABCD是正方形，DM⊥PC，垂足为M.

（1）求证：BD⊥平面PAC．

（2）求证：平面MBD⊥平面PCD．     

Answer

证明：（1）连结AC，

∵底面ABCD是正方形

∴BD⊥AC，     ┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分

∵PA⊥底面ABCD，

BD⊂平面ABCD，┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分

∴PA⊥BD，    ┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分

∵PA AC=A   ┅┅┅┅┅┅┅┅┅5分

∴BD⊥平面PAC．┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分

（2）由（1）知BD⊥平面PAC   ┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分

∵PC⊂平面PAC  ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8分

∴BD⊥PC   ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9分

∵DM⊥PC

BD DM=D   ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10分

∴PC⊥平面DBM  ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅11分

∵PC⊂平面PDC，

∴平面MBD⊥平面PCD. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分

【解析】略