Question

（（本小题满分12分）

由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式.

对于，我们有

可见可以表示为的三次多项式。一般地，存在一个次多项式，使得，这些多项式称为切比雪夫多项式.

（I）求证：；

（II）请求出，即用一个的四次多项式来表示；

(III)利用结论，求出的值.

Answer

【解析】
（I）证法一：

    (4分)

   （4分）

（II）

  （8分）

（III），

，

   （12分）

【解析】略