Question

如图，已知AB⊥平面ACD，DE//AB，△ACD是正三角形，DE =2AB=2，且F是CD的中点。

 (Ⅰ)求证：AF//平面BCE；

 (Ⅱ)求证：平面BCE⊥平面CDE；

 (Ⅲ)设，当为何值时？使得平面BCE与平面ACD所成的二面角的大小为。

Answer

【解析】
（I）取CE中点P，连结FP、BP，

∵F为CD的中点，∴FP//DE，且FP=………1分

又AB//DE，且AB=∴AB//FP，且AB=FP，

∴ABPF为平行四边形，∴AF//BP。…………………2分

又∵AF平面BCE，BP平面BCE，∴AF//平面BCE…………3分

   （II）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD。

∵AB⊥平面ACD，DE//AB，

∴DE⊥平面ACD，又AF平面ACD，…………4分

∴DE⊥AF。又AF⊥CD，CD∩DE=D，

∴AF⊥平面CDE。 …………5分

又BP//AF，∴BP⊥平面CDE。又∵BP平面BCE，

∴平面BCE⊥平面CDE。 …………………7分

   （III）由（II），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别

为x，y，z轴（如图），建立空间直角坐标系F—xyz.

已知AC=2，则C（0，，0），……8分

…9分

显然，为平面ACD的法向量。………………………………10分

设平面BCE与平面ACD所成的二面角为

所以，当时，平面BCE与平面ACD所成的二面角为45°…………12分

【解析】略