Question

本小题满分12分)

已知函数f (x)=x³+ ax²－bx  (a, b∈R) .

(1)若y=f (x)图象上的点(1，－)处的切线斜率为－4，求y=f (x)的极大值；

(2)若y=f (x)在区间[－1，2]上是单调减函数，求a + b的最小值.

Answer

【解析】
(1)∵f ′(x)=x2+2ax－b ,

∴ 由题意可知：f ′(1)=－4且f (1)= －,

∴ 解得：…………………………2分

∴ f (x)=x3－x2－3x。

f ′(x)=x2－2x－3=（x+1）（x－3）.

令f ′(x)= 0，得x1=－1，x2=3，……………3分

    由此可知：

x

(－∞,－1)

－1

(－1, 3)

3

(3, +∞)

f ’(x)

+

0

－

0

+

f (x)

↗

f (x)极大5/3

↘

f (x) 极小

↗

∴ 当x=－1时, f (x)取极大值.  …………………………6分

(2) ∵y=f (x)在区间[－1，2]上是单调减函数，

∴f ′(x)=x2+2ax－b≤0在区间[－1，2]上恒成立.

根据二次函数图象可知f ′(－1)≤0且f ′(2)≤0，即：

也即…………………9分

作出不等式组表示的平面区域如图：

当直线z=a+b经过交点P(－, 2)时，

z=a+b取得最小值z=－+2=,

∴z=a+b取得最小值为……………………12分

【解析】略