Question

. (满分12分)

已知函数图象上一点处的切线方程

为．

1)求的值；

2）若方程在内有两个不等实根，求的取值范围（其中为自然对数的底数）；

3）令，若的图象与轴交于，(其中)，的中点为，求证：在处的导数

Answer

【解析】
（Ⅰ），，．

∴，且．    …………………… 2分

解得．                           …………………… 3分

（Ⅱ），令，

则，令，得（舍去）．

在内，当时，， ∴ 是增函数；

当时，，   ∴  是减函数          …………………… 5分

则方程在内有两个不等实根的充要条件是…………6分

即．                                ………………………………… 8分

（Ⅲ），．

假设结论成立，则有 ……………………………… 9分

①－②，得．         

∴．      …………………………………………………………… 10分

由④得，

∴                  

即，即．⑤       ……………………………… 11分

令，（)，    则＞0．∴在上增函数，

∴，

∴⑤式不成立，与假设矛盾．

∴．                              ……… 12分

【解析】略