Question

（本小题满分14分）

已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x₁)－f(x₂)，且当x＞1时，

f(x)＜0. (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的单调性

(3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)＜－2.

Answer

答：(1)令x1＝x2＞0，……………………1分

代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0. ……………………3分

(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＞x2，则＞1，……………………5分

由于当x＞1时，f(x)＜0，所以f＜0，即f(x1)－f(x2)＜0，………………7分

因此f(x1)＜f(x2)，

所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．……………………9分

(3)由f＝f(x1)－f(x2)得f＝f(9)－f(3)，……………………11分

而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2. ……………………12分

由于函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数，

由f(|x|)＜f(9)，得|x|＞9，……………………13分

∴x＞9或x＜－9.

因此不等式的解集为{x|x＞9或x＜－9}．……………………14分

【解析】略