Question

（（本小题满分14分）

在数列{a_n}中,a₁=1,a_n+1= (n∈N*)

(Ⅰ)求a_2,a_3,a_4;

(Ⅱ)猜想a_n，并用数学归纳法证明

(Ⅲ)若数列b_n= ，求数列{b_n}的前n项和s_n

Answer

解答：（Ⅰ）∵a1=1,an+1=

∴a2= = ,a3 = = ,a4 = = .……………3分

(Ⅱ)猜想：an=。……………………………………………4分

下面用数学归纳法证明：

1°当n=1时,a1==1,等式成立。…………………………………………5分

2°假设当n=k时，ak=成立。……………………………………………6分

则n=k+1时,

ak+1====

即n=k+1时,等式也成立, ……………………………………………9分

由数学归纳法知:an=对n∈N*都成立。……………………………………………10分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：bn===２[-]…………………………………11分

从而sn=b1+b2+…+bn

=2[(1-)+(-)+…+(-)]=2[1-]=…………………………14分

【解析】略