Question

（本小题满分10分）

用平行于四面体的一组对棱、的平面截此四面体(如图）.

（1）求证：所得截面是平行四边形；

（2）如果.求证：四边形的周长为定值.

Answer

【解析】
(1)∵AB∥平面MNPQ.

平面ABC∩平面MNPQ=MN.

且AB平面ABC.

∴由线面平行的性质定理知，AB∥MN.

同理可得PQ∥AB.                                         …………3分

∴由平行公理可知MN∥PQ.

同理可得MQ∥NP.

∴截面四边形MNPQ为平行四边形.                             …………5分

(2)∵由(1)可知MN∥AB.∴.

∵MN=λAB=λa,MC=λAC.                                      …………7分

又∵MG∥CD,∴.

∴MQ=·CD=(1-λ)a,             …………9分

∴MN+MQ=λa+(1-λ)a=a.

∴平行四边形MNPQ的周长2(MN+MQ)=2a定值.                …………10分

【解析】略