Question

本小题满分12分）

如图，在棱长为a的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为棱AB和BC的中点，EF交BD于H。

   （1）求二面角B₁—EF—B的正切值；

   （2）试在棱B₁B上找一点M，使D₁M⊥平面EFB₁，并证明你的结论.

Answer

【解析】
（1）连AC、B1H，则EF//AC，

∵AC⊥BD，所以BD⊥EF。

∵B1B⊥平面ABCD，所以B1H⊥EF，

∴∠B1HB为二面角B1—EF—B的平面角。                …………2分

在

故二面角B1—EF—B的正切值为       …………4分

   （2）在棱B1B上取中点M，连D1M、C1M。

∵EF⊥平面B1BDD1，

所以EF⊥D1M。                                         …………6分

在正方形BB1C1C中，因为M、F分别为BB1、BC的中点，

∴B1F⊥C1M  又因为D1C1⊥平面BCC1B1，所以B1F⊥D1C1，

所以B1F⊥D1M，

∴D1M⊥平面EFB1                                      …………8分

   （3）设D1M与平面EFB1交于点N，则D1N为点D1到平面EFB1的距离。

在Rt△MB1D1中，                       …………10分

故点D1到平面EFB1的距离为                           …………12分

解二：（1）在正方体中，以DA、DC、DD1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系

则

    ………………2分

设平面EFB1的一个法向量为

故二面角B1—EF—B的正切值为                …………6分

   （2）设

                        …………12分

【解析】略