Question

（本小题满分12分）

已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线与C相交于A、B两点，当直线的斜率为1时，坐标原点O到的距离为。

（1）求的值；

（2）椭圆C上是否存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的点P的坐标与的方程；若不存在，说明理由

Answer

(1)设，当的斜率为1时，其方程为，到的距离为。故。由，得

(2)若椭圆上存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立，

由(1)知椭圆的方程为设

1)当垂直于轴时，由知，椭圆上不存在点，

2)使成立

3)当不垂直于轴时，设的方程为，代入得，

4)。由知，

5）点的坐标为，

6）满足椭圆C的方程，，

又代入得，

解得

当时，，直线的方程为

当时，，直线的方程为

综上，椭圆上存在点,使成立，

此时直线的方程为

【解析】略