Question

(本小题满分14分)

如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，在棱上．

（Ⅰ）当时，求证平面

（Ⅱ）当二面角的大小为时，求直线与平面所成角的正弦值．

Answer

【解析】
（Ⅰ）在平行四边形中，由，，，

易知，…………………2分

又平面，所以平面,

∴，

在直角三角形中，易得，

在直角三角形中，，，

又，∴，

可得

．

∴，……………………6分

又∵，∴平面．………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,,，

可知为二面角的平面角，

，此时为的中点． ……………9分

过作,连结,则平面平面,

作,则平面,连结,

可得为直线与平面所成的角．

因为,,

所以．……………12分

在中，

直线与平面所成角的正弦值大小为．……………………14分

解法二：依题意易知，平面ACD．以A为坐标原点，AC、AD、SA分别为轴建立空间直角坐标系，则易得……………2分，

（Ⅰ）由有，……………4分

易得，从而平面ACE．……………………7分

 (Ⅱ)由平面，二面角的平面角．

又，则 E为的中点，

即 ,………………9分

设平面的法向量为

则，令,得，…………11分

从而，…………13分

直线与平面所成角的正弦值大小为．……………………14分