Question

已知定点及椭圆,过点的动直线与椭圆相交于两点．

   （1）若线段中点的横坐标是，求直线的方程；

   （2）在轴上是否存在点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

【解析】

 （1）依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为,

将代入,

消去整理得，         …………………  2 分

设,

①

②

则                     

由线段中点的横坐标是，

得，解得，适合①

所以直线的方程为或；  ……………… 5分

   （2）假设在轴上存在点，使为常数．

   （ⅰ）当直线与轴不垂直时，由（1）知

 ，   ③

所以

；       …………………………7分

将③代入，整理得

 ，     

注意到是与无关的常数，从而有，

此时 ；       ……………………………………………… 10分

   （ⅱ）当直线与轴垂直时，此时点的坐标分别为，

当时，亦有 ；

综上，在轴上存在定点，使为常数. ……………  12分

【解析】略