Question

已知函数，.

（I）讨论的单调性.

（II）当时，讨论关于的方程的实根的个数.

Answer

（I）当时，在上单调递增，在和上单调递减. 当时，在和上单调递增，在上单调递减（II）即时，原方程有一解.时，原方程有两解.时，原方程有三解.

【解析】（I）依题， ―――――――――――――――（1分）

令，即：. ―――――――――――――――――――（2分）

易知，当时，在上单调递增， ―――――――――――――――（4分）

在和上单调递减. ――――――――――――――――――（6分）

当时，在和上单调递增， ――――――――――――（7分）

在上单调递减. ―――――――――――――――――――――――――－（8分）

（II）由（I）知当时，

极小＝，极大＝ ――――――――――――――――（9分）

又当或时，，

可见的图象如下： ――――――――――（10分）

而方程，

转化为 ――――――――――――（11分）

可见，当时，即时，原方程有一解.

同理：

时，原方程有两解.

时，原方程有三解. ――――――――－（12分