Question

（本大题满分13分）设函数是定义域在上的单调函数，且对于任意正数有，已知.

（1）求的值；

（2）一个各项均为正数的数列满足：，其中是数列的前n项的和，求数列的通项公式；

（3）在（2）的条件下，是否存在正数，使 对一切成立？若存在，求出M的取值范围；若不存在，说明理由.

Answer

（1）-1；

（2）；

（3）存在正数，使所给定的不等式恒成立，的取值范围为

【解析】（1）∵，令，有，∴.

再令，有，∴，∴ …4分

（2）∵,

又∵是定义域上单调函数，∵，，

∴       ……①

当时，由，得，当时，   ……②

由①－②，得，

化简，得 ，∴，

∵，∴，即，∴数列为等差数列. ，公差.

∴，故.  ………… 8分

（3）∵，

令=,

而. 

∴=，

∴，数列为单调递增函数，由题意恒成立，则只需=，

∴ ，存在正数，使所给定的不等式恒成立，的取值范围为 .