Question

（本小题满分13分）直三棱柱的直观图及其正视图、侧视图、俯视图如图所示.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 （1）求证：面；    （2）求点到平面的距离；

 （3）求二面角的大小.

Answer

（1）同解析（2）点到平面的距离 （3）二面角的平面角为.

【解析】

解法一、（1）如图所示，建立空间直角坐标系

则，，

， 平面，……………………1分

   …………………………2分

∴，    ……………………… 3分   

又∵平面

∴平面 ………………………4分（或证明

（２）设、、为平面的法向量

∵

……………………6分

……………………5分

∵

∴取  ………………………7分

∵

∴点到平面的距离  ……………9分

（３）∵三棱柱为直三棱柱，

∴平面的法向量  ………………………10分

又平面的法向量

∴  ……………………12分

∴二面角的大小为.  ……………………13分

解法二、（1）连接，∵、为，的中点，

∴.

 面面

面

（2）设，连接，

＝

＝

则，又，

＝

∴，∴.

∵面，∴

∴面，∴面.

∴到平面的距离.

（3）过引交于，连接，则

    为二面角的平面角

∵

∴，∴   ∴二面角的平面角为.