Question

  (本题满分12分) 如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形

（1）求证：；

（2）设线段的中点为，在直线 上是否存在一点，使得？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；

（3）求二面角正切值的大小。

      

Answer

（1）略

（2）略

（3）二面角正切值为

【解析】【解析】
（Ⅰ）因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB，

所以BC⊥平面ABEF.

所以BC⊥EF. ……………………………………2分

因为⊿ABE为等腰直角三角形，AB=AE，

所以∠AEB=45°，

又因为∠AEF=45,

所以∠FEB=90°，即EF⊥BE. …………………3分

因为BC平面ABCD, BE平面BCE,

BC∩BE=B

所以   …………………………4分（II）取BE的中点N,连结CN,MN,则MNPC

∴PMNC为平行四边形,所以PM∥CN.             ………6分   

∵CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内,PM∥平面BCE  ………8分         

（III）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知EA⊥平面ABCD.

作FG⊥AB,交BA的延长线于G,则FG∥EA.从而FG⊥平面ABCD,

作GH⊥BD于H,连结FH,则由三垂线定理知BD⊥FH.

∴  ∠FHG为二面角F-BD-A的平面角. …………………10分

∵  FA=FE,∠AEF=45°,∠AEF=90°, ∠FAG=45°.

设AB=1,则AE=1,AF=,则

在Rt⊿BGH中, ∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,

,                                         

在Rt⊿FGH中, ,

∴  二面角正切值为    ………………12分