Question

(本小题满分12分) 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一点．

（1）证明：平面PAC⊥平面PBC；

（2）若，∠ABC=30°，求二面角A—PB—C的大小．

Answer

（1）平面PAC⊥平面PBC

（2）二面角A—PB—C的大小为60°

【解析】（1）证明：∵PA垂直于⊙O所在的平面，BC在该平面内，所以PA⊥BC。

∵C是圆周上不同于A，B的一点，AB是⊙O的直径，所以∠BCA是直角，即BC⊥AC。

又因为PA与AC是平面PAC内的两条相交直线，所以BC⊥平面PAC。

又困为BC在平面PBC内，所以平面PAC⊥平面PBC     …………………5分

（2）作AD⊥PB于D点，AE⊥PC于E点，连DE。

由（1）知平面PAC⊥平面PBC，所以AE⊥平面PBC

而PB在平面PBC内，所以AE⊥PB

即有PB⊥AD（所作）PB⊥AE，又AE与AD是平面ADE内的两条相交直线，

所以PB⊥平面ADE，所以∠ADE是二面角A—PB—C的平面角。…………………………9分

设AB=2r，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，所以AC=r

由条件知PA=

在Rt△PAC中，AE=

在Rt△PAB中，AD=

在Rt△AED中，sin∠ADE=，所以∠ADE=60°

故二面角A—PB—C的大小为60°………………………………………12分