Question

(本题满分10分)甲乙两地相距 km,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 km/h,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 km/h的平方成正比,比例系数为,固定部分为元.

(1)把全程运输成本(元)表示为速度(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域;

(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?

Answer

（1）所求函数及其定义域为y=s(+bv),v∈.

（2）为使全程运输成本y最小,当≤c时,行驶速度为v=;当>c时,行驶速度为v=c.

【解析】解:(1)依题意知,汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为,全程运输成本为y=a·+bv2·=s(+bv).

故所求函数及其定义域为y=s(+bv),v∈.

(2)依题意知s,a,b,v都是正数,故有s(+bv)≥2s.当且仅当=bv,即v=时上式中等号成立.

①当≤c时,则当v=时全程运输成本最小;

②当>c时,则当v∈时有s(+bv)-s(+bc)=s[(-)+(bv-bc)]=(c-v)(a-bcv).

∵c-v≥0且a>bc2,故有a-bcv≥a-bc2>0,∴s(+bv)≥s(+bc),当且仅当v=c时等号成立.

即当v=c时全程运输成本最小.

综上知,为使全程运输成本y最小,当≤c时,行驶速度为v=;当>c时,行驶速度为v=c.