Question

定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.

已知函数；.

（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；

（2）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围；

（3）若，函数在上的上界是，求的取值范围.

Answer

（1）在的值域为，故不存在常数，使成立

所以函数在上不是有界函数。

（2）实数的取值范围为。

（3）当时，的取值范围是；

当时，的取值范围是

【解析】[解]：（1）当时， 

因为在上递减，所以，即在的值域为

故不存在常数，使成立

所以函数在上不是有界函数。   ……………4分（没有判断过程，扣2分）

（2）由题意知，在上恒成立。………5分

，          

∴   在上恒成立………6分

∴    ………7分

设，，，由得 t≥1，

设，

所以在上递减，在上递增，………9分（单调性不证，不扣分）

在上的最大值为，  在上的最小值为 

所以实数的取值范围为。…………………………………11分

（3），∵   m>0  ，      ∴  在上递减，…12分

∴       即………13分

①当，即时，， ………14分

此时  ，………16分②当，即时，，

此时  ，   ---------17分

综上所述，当时，的取值范围是；

当时，的取值范围是………18分