Question

设斜率为的直线交椭圆：于两点，点为弦的中点，直线的斜率为（其中为坐标原点，假设、都存在）．

（1）求×的值．

（2）把上述椭圆一般化为（＞＞０），其它条件不变，试猜想与关系(不需要证明)．请你给出在双曲线（＞０，＞０）中相类似的结论，并证明你的结论．

Answer

（1）

（2）略

【解析】解（一）：（1）设直线方程，代入椭圆方程并整理得:

,

,又中点M在直线上，所以，从而可得弦中点M的坐标为，，所以

解（二）设点，中点 则

又与作差得  所以

（2）对于椭圆，   

已知斜率为的直线交双曲线（＞０，＞０）于两点，点 为弦的中点，直线的斜率为（其中为坐标原点，假设、都存在）．

则×的值为．

（解一）、设直线方程为，代入（＞０，＞０）方程并整理得：

，，

所以，即   

(解二）设点 中点

 则      

又因为点在双曲线上，则与作差得

    即