Question

（本题满分18分；第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题8分）

设数列是等差数列，且公差为，若数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.

（1）若，求证：该数列是“封闭数列”；

（2）试判断数列是否是“封闭数列”，为什么？

（3）设是数列的前项和，若公差，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使；若存在，求的通项公式，若不存在，说明理由.

Answer

略

【解析】（1）证明：，--------------------------------------------1分

对任意的，有

，---------------------------------------------3分

于是，令，则有-------------------------5分（2），---------------------------------------------------------7分

令，-----------------------------------------9分

所以数列不是封闭数列；---------------------------------------------------10分

（3）【解析】
由是“封闭数列”，得：对任意，必存在使

成立，----------------------------------------------------11分

于是有为整数，又是正整数。-------------------------------13分

若则，所以，-----------------------14分

若，则，所以，------------------------16分

若，则，于是

，所以，------------------------------------------17分

综上所述，，显然，该数列是“封闭数列”。---------------- 18分