Question

（本题满分18分；第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）

设数列是等差数列，且公差为，若数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.

（1）若，判断该数列是否为“封闭数列”，并说明理由？

（2）设是数列的前项和，若公差，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使；若存在，求的通项公式，若不存在，说明理由；

（3）试问：数列为“封闭数列”的充要条件是什么？给出你的结论并加以证明.

Answer

略

【解析】（1）数列是“封闭数列”，因为：，------------1分

对任意的，有

，---------------------------------------------3分

于是，令，则有-------------------------4分

（2）【解析】
由是“封闭数列”，得：对任意，必存在使

成立，----------------------------------------------------5分

于是有为整数，又是正整数。-------------------------------6分

若则，所以，-----------------------7分

若，则，所以，------------------------8分

若，则，于是

，所以，------------------------------------------9分

综上所述，，显然，该数列是“封闭数列”。---------------- 10分

（3）结论：数列为“封闭数列”的充要条件是存在整数，使.----12分

证明：（必要性）任取等差数列的两项，若存在使，则

故存在，使，---------------------------------------------------------14分

下面证明。当时，显然成立。

对，若，则取，对不同的两项，存在使，

即，这与矛盾，

故存在整数，使。------------------------------------------------------------------16分

（充分性）若存在整数使，则任取等差数列的两项，于是

由于为正整数，证毕.----------------------18分