Question

正项数列满足，

（1）若，求的值；

（2）当时，证明： ；

（3）设数列的前项之积为，若对任意正整数，总有成立，求的取值范围

Answer

（1）

（2） ；

（3）实数的取值范围是

【解析】（1）因为所以，解得或（舍去）

由的任意性知，    ……………3分

（2）反证法：假设      ……………4分

即，则得

依此类推，这与矛盾。

所以假设不成立，则            ……………7分

（3）由题知，当时，，

所以

同理有

将上述个式子相乘，得，

即  ……………11分

当时，也成立，

所以     ……………12分

从而要使对任意的恒成立，

只要使对任意的恒成立即可。

因为数列单调递增，所以  ……………13分

即

所以实数的取值范围是      

又a>0, 所以实数的取值范围是………14分