Question

（本小题满分13分）

已知椭圆的短轴长为，且与抛物线有共同的焦点，椭圆的左顶点为A，右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线分别交于两点．

   （I）求椭圆的方程；

   （Ⅱ）求线段的长度的最小值；

（Ⅲ）在线段的长度取得最小值时，椭圆上是否存在一点，使得的面积为，若存在求出点的坐标，若不存在，说明理由．

Answer

（1）（2）8（3）或

【解析】（I）由已知得，抛物线的焦点为，则，又．

由，可得．

 故椭圆的方程为．…………………………………………4分

（Ⅱ）直线的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而．

由得．………………………………6分

设，则 ． 所以，从而．

即又，

则直线的斜率为．

由     得

所以．

故．

又， ．

当且仅当，即时等号成立．

所以当时，线段的长度取最小值．…………………………………………8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当的长度取最小值时，．

 则直线的方程为，此时，．

若椭圆上存在点，使得的面积等于，则点到直线的距离等于，

所以在平行于且与距离等于的直线上．

设直线．

则由  得．………………………………………10分

．即．

由平行线间的距离公式，得 ，

解得或（舍去）．

可求得或．…………………………………………13分