Question

（14分）

设集合W由满足下列两个条件的数列构成：

①

②存在实数M，使（n为正整数）

   （I）在只有5项的有限数列

        ；试判断数列是否为集合W的元素；

   （II）设是等差数列，是其前n项和，证明数列；并写出M的取值范围；

   （III）设数列且对满足条件的常数M，存在正整数k，使

         求证：

Answer

（I）对于数列，当n=1时，

显然不满足集合W的条件，①

故不是集合W中的元素，                           …………2分

对于数列，当时，

不仅有

而且有，

显然满足集合W的条件①②，

故是集合W中的元素.                               …………4分

   （II）是等差数列，是其前n项和，

设其公差为d，

           …………7分

的最大值是

即

，且M的取值范围是                  …………9分

   （III）证明：

整理，

又

                                   …………14分

【解析】略