Question

（本小题满分14分）

若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列，则称这个数列为调和数列．已知数列是调和数列，对于各项都是正数的数列，满足．

（Ⅰ）求证：数列是等比数列；

（Ⅱ）把数列中所有项按如图所示的规律排成一个三角形数表，

当时，求第行各数的和；

（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的数列，若数列满足

，求证：数列为等差数列.

Answer

（Ⅰ）证明：因为，且数列中各项都是正数，

所以 ．

设，                ①

因为数列是调和数列，故，．

所以．                                  ②

由①得，

代入②式得，即.

故. 所以数列是等比数列．    ………………………………5分

（Ⅱ）设的公比为，则，即．由于，故．

于是．

注意到第行共有个数，

所以三角形数表中第1行至第行共含有个数.

因此第行第1个数是数列中的第项.

故第行第1个数是，

所以第行各数的和为．  …………10分

（Ⅲ）由 ，得，

即，所以，         ①

                         ②

②—① 得 ，

即，   ③

，   ④

④-③ 得 ，即.

所以为等差数列．           ………………………………………………14分

【解析】略