Question

（本题满分14分）

已知是递增数列，其前项和为，，且，．

（Ⅰ）求数列的通项；

（Ⅱ）是否存在，使得成立？若存在，写出一组符合条件的的值；若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）设，若对于任意的，不等式

恒成立，求正整数的最大值．

Answer

（1）（2）不存在（3）8

【解析】（Ⅰ），得，解得，或．

由于，所以．

因为，所以.

故，

整理，得，即．

因为是递增数列，且，故，因此．

则数列是以2为首项，为公差的等差数列.

所以.………………………………………………5分

（Ⅱ）满足条件的正整数不存在，证明如下：

假设存在，使得，

则．

整理，得，     ①

  显然，左边为整数，所以①式不成立．

故满足条件的正整数不存在．                     ……………………8分

（Ⅲ），

不等式可转化为

．

设，

则

.

所以，即当增大时，也增大．

要使不等式对于任意的恒成立，只需即可．

因为，所以.

即.

所以，正整数的最大值为8．            ………………………………………14分