Question

（本小题满分13分）

已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在轴上，离心率为，且点在该椭圆上。

（I）求椭圆C的方程；

（II）过椭圆C的左焦点的直线与椭圆C相交于A，B两点，若的面积为，求圆心在原点O且与直线相切的圆的方程。

Answer

（I）设椭圆C的方程为，由题意可得   ,                            

又，所以                            ……………2分

因为椭圆C经过（1，），代入椭圆方程有        

解得                                                ……………4分

所以 ，故椭圆C的方程为  .    ……………5分

（Ⅱ）解法一：

当直线轴时，计算得到：，

，不符合题意.          ……………6分

当直线与轴不垂直时，设直线的方程为：,

由，消去y ，得    …………7分

显然成立，设，

则                         ……………8分

又

                       ……………9分

即

又圆的半径                        ……………10分

所以……………11分

化简，得，即，

解得（舍）                                      ……………12分

所以，，故圆的方程为：.           ……………13分

（Ⅱ）解法二：

设直线的方程为 ，

由，消去x，得                ……………7分

因为恒成立，设，

则                            ……………8分

所以

                  ……………9分

所以

化简得到，即，

解得（舍）                                    …………11分

又圆的半径为                      ……………12分

所以，故圆的方程为：           ……………13分.

【解析】略